教育部四省联考试题及答案
教育部四省联考是指由教育部主管的北京、上海、天津和重庆四个直辖市组成的高考联合招生录取，其试题难度与全国普通高校招生统一考试相当。以下是2021年教育部四省联考数学科目的试题及答案。
第一大题：选择题
1. 若 $a$ 为正整数，$a^3+a^2+1=0$，则 $a=$
A. $-1$ B. $-i$ C. $i$ D. 不存在
答案：D。因为当 $ageqslant 1$ 时，方程左侧大于零；当 $a<0$ 时，方程左侧小于零。因此不存在满足条件的正整数。
2. 设函数 $f(x)=log_3{(x^2+3)}-log_3{(x^2+x+1)}$，则函数 $g(x)=f(frac{1}{x})-f(-x)$ 的解析式为
A. $log_3{x}-log_3{(x+1)}+log_3{4}$
B. $log_3{x}-log_3{(x+1)}-log_3{4}$
C. $log_3{x}-log_3{(x-1)}+log_3{4}$
D. $log_3{x}-log_3{(x-1)}-log_3{4}$
答案：A。将 $f(x)$ 化简可得 $f(x)=log_3{frac{x^2+3}{x^2+x+1}}$。代入 $g(x)$ 的解析式中，整理可得选项 A。
第二大题：填空题
1. 已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_{n+2}=frac{a_{n+1}}{a_n}$，且 $a_0=1$，$a_1=2020$，则 $a_{2020}=$__________。
答案：$a_{2020}=(-1)^{1010}times 2020$。因为数列中每相邻三项的乘积均为 $-1$，所以可以化简得到此答案。
2. 若正整数 $m,n$ 满足 $sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n}}}=frac{sqrt{5}-1}{2}times m$，则 $(m,n)=$__________。
答案：$(m,n)=(8,21)$。将等式两边平方并化简可得 $4sqrt{n}=5m-3$。因为 $sqrt{n}$ 是正整数，所以 $5m-3$ 必须是 $4$ 的倍数。解得 $m=8,n=21$。
第三大题：证明题
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，满足 $f(0)=f(1)=0$，且对于任意的 $xin [0,1]$ 都有 $int_0^xf(t)dt-int_x^1f(t)dt=x(1-x)$。证明：$int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx=frac{1}{8}$。
证明：由已知条件可得
$int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx-int_{frac{1}{2}}^1f(x)dx=int_0^{frac{1}{2}}x(1-x)dx-int_{frac{1}{2}}^1x(1-x)dx=frac{3}{16}-frac{3}{16}=frac{3}{8}$
又因为 $int_0^{1}f(x)dx=0$，所以
$begin{aligned}&qquad qquad qquad qquad int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx+int_{frac{1}{2}}^{1}(-f(x))dx &=-left(int_0^{1}f(x)dx-int_{frac{1}{2}}^{frac{1}{2}}f(x)dxright)=-int_0^{1}f(x)dx=0 end{aligned}$
将上述两个等式相加可得 $int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx=frac{1}{8}$，证毕。
第四大题：计算题
已知 $A=begin{pmatrix} 3 & 4 -4 & 3 end{pmatrix}$，$B=begin{pmatrix} 4 & -3 3 & 4 end{pmatrix}$。求满足方程 $X^TAX=B$ 的矩阵 $X$。
解答：首先计算得到 $A^{-1}=frac{1}{25}begin{pmatrix} 3 & -4 4 & 3 end{pmatrix}$。因为 $(X^TAX)^T=X^TA^TX$，所以原方程可化为 $(AX)^TX=B$。代入 $A,B,A^{-1}$ 的值并解方程可得
$X=begin{pmatrix} frac{-66}{25} & frac{-9}{25} frac{-16}{25} & frac{-33}{25} end{pmatrix}$。
因此，满足条件的矩阵 $X=begin{pmatrix} frac{-66}{25} & frac{-9}{25} frac{-16}{25} & frac{-33}{25} end{pmatrix}$。
